4.4 Base y dimencion de un espacio vectorial .

 Un conjunto de vectores {v₁, v₂, v₃, …, v_n} forma una base para V si :

• {v₁, v₂, v₃, …, v_n} son linealmente independientes
• {v₁, v₂, v₃, …, v_n} genera a V

Un conjunto de vectores S={v1, v2,…, vn} en un espacio vectorial V se denomina base de V si se cumplen las siguientes condiciones.

* S genera a V.

* S es linealmente independiente

Una base posee 2 características que se acaban de ver, debe tener suficientes valores para generar a V, pero no tantos de modo que uno de ellos pueda escribirse como una combinación lineal de los demás vectores en S. Si un espacio vectorial consta de un número finito de vectores, entonces V es de dimensión finita. En caso contrario, V es de dimensión infinita.

Base

En términos generales, una “base” para un espacio vectorial es un conjunto de vectores del espacio, a partir de los cuales se puede obtener cualquier otro vector de dicho espacio, haciendo uso de las operaciones en él definidas.

La base es natural, estándar o canónica si los vectores v₁, v₂,…, v_n forman base para Rⁿ.

Si S={v₁, v₂,…, v_n} es una base para un espacio vectorial V entonces todo vector v en V se puede expresar como:

1.      V = c₁v₁+ c₂v₂+…+ c_nv_n

2.      V = k₁v₁+ k₂v₂+…+ k_nv_n

Restar 2-1

            0 = (c₁- k₁) v₁+(c₂- k₂) v₂+…+(c_n- k_n) v_n

4.3 convinacion lineal , independencia lineal .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Decimos que hablamos de una conbinación lineal de dos o más vectores cuando tenemos el vector que se obtiene al sumar dos ( o más ) vectores y esos vectores son multiplicados por escalares . 

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección. Ademas esta  combinación lineal es unica . 

Acontinuacion , esto se expresara de forma más simple ;

Cualquier vector se puede poner como combinacion lineal de otros que tengan distinta direccion . 

             

Entonces podemos decir que graficamente esta es unica;






Cuando son linealmente dependientes hay una convinación lineal de ellos que es igual al vector cero , sin que sean cero todos los coeficiente de la convinacion lineal .

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos

Dos de los vectores del plano  = (u₁, u₂) y  = (v₁, v₂) son linelmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

  =k       

fuentes ;

http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal

4.6 BASE ORTONORMAL PROCESO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM-SCHMIDT

En álgebra lineal, el proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rⁿ), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

El proceso se basa en un resultado de la geometría euclídea, el cual establece que la diferencia entre un vector y su proyección sobre otro, es perpendicular al primero. Dicho resultado constituye una herramienta para construir, a partir de un conjunto de dos vectores no paralelos, otro conjunto, conformado por dos vectores perpendiculares.

Este algoritmo recibe su nombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

Interpretación Geométrica 

En el espacio euclídeo  (R³, ·)  con el producto escalar usual definido, se propone un método para encontrar un sistema de vectores, perpendiculares entre sí, a partir de tres vectores no coplanarios cualesquiera. Sean v₁, v₂, v₃ dichos vectores.

El método consiste de dos proyecciones. La base ortogonal de R³ compuesta por u₁, u₂, u₃, se calcula de la siguiente manera.

1. Se escoge arbitrariamente uno de los vectores dados, por ejemplo u₁ = v₁.

1. u₂ se calcula como la diferencia entre v₂ y el vector que resulta de proyectar a v₂ sobre u₁. Dicha diferencia es perpendicular a u₁. Es equivalente afirmar que u₂ es la diferencia entre v₂ y el vector que resulta de proyectar a v₂ sobre la recta que genera u₁.

1. u₃ es la diferencia entre v₃ y el vector que resulta de proyectar a v₃ sobre el plano generado por u₁ y u₂. La diferencia de vectores tiene como resultado otro vector que es perpendicular al plano.

Esta sencilla interpretación del algoritmo para un caso que puede verse es susceptible de generalización a espacios vectoriales de dimensión arbitraria, con productos internos definidos, no necesariamente canónicos. Dicha generalización no es otra que el proceso de Gram-Schmidt.

Descripción del Algoritmo de Ortonormalizacion de Gram-Schmidt 

El método de Gram-Schmidt se usa para hallar bases ortogonales de cualquier base no euclídea.

En primer lugar tenemos que:

${\displaystyle \mathbf {v} -{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \over \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }\mathbf {u} =\mathbf {v} -\mathrm {proy} _{\mathbf {u} }\,(\mathbf {v} )}$

Es un vector ortogonal a ${\displaystyle \mathbf {u} }$. Entonces, dados los vectores ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ , se define:

	${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},}$
	${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-{\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {u} _{1}\rangle \over \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{1}\rangle }\mathbf {u} _{1},}$
	${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}-{\langle \mathbf {v} _{3},\mathbf {u} _{1}\rangle \over \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{1}\rangle }\mathbf {u} _{1}-{\langle \mathbf {v} _{3},\mathbf {u} _{2}\rangle \over \langle \mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{2}\rangle }\mathbf {u} _{2},}$ Generalizando en k:
	${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}{\langle \mathbf {v} _{k},\mathbf {u} _{j}\rangle \over \langle \mathbf {u} _{j},\mathbf {u} _{j}\rangle }\mathbf {u} _{j}}$

A partir de las propiedades del producto escalar, es sencillo probar que el conjunto de vectores ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$ es ortogonal.

Proposición 1

Si

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{k}\right\}}$

es un conjunto de vectores linealmente independientes, los vectores u₁, u₁, ... u_k definidos por

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcll}\mathbf {u} _{1}&=&\mathbf {v} _{1}&\\\mathbf {u} _{k}&=&\mathbf {v} _{k}-\displaystyle \sum _{j=1}^{k-1}\operatorname {proy} _{\mathbf {u} _{j}}\left(\mathbf {v} _{k}\right)&{\textrm {para}}\ k>1\end{array}}\right.}$

son todos no nulos. Dicho de otra manera, para cada k,

${\displaystyle \left\langle u_{k},u_{k}\right\rangle \neq 0.}$

Proposición 2

El conjunto

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{k}\right\}}$

está constituido por vectores mutuamente ortogonales.

TEMA 4.5

              ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces...                                                 

La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.

Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

Tema 4.1.3 Espacios vectoriales y sus normas o axiomas.

Anteriormente en el tema 4.1.1 se compartió un documento don de se expresan correctamente los axiomas de los vectores, lo que dice, en palabras simples, es que como ya sabemos en el álgebra, no podemos mezclar, funciones de 4 vaiables con unas de 2, y etc. Por ello es necesario conocer como emplear, adecuadamente los axiomas, y como aplicarlos. A continuación les dejamos un vídeo donde se explica más a fondo el tema. Publicado por: José Javier Barbosa Castro
https://www.youtube.com/watch?v=q6IQJA8qvok

Tema 4.1.2: Tipos de espacios vectoriales

 Vector renglón: Un vector de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:         (x1,x2........xn)

 Vector columna: Un vector columna de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números escritos de la siguiente manera:

 

Hay vectores columna, y vectores renglón de diferentes dimensiones usando la nomenclatura de Rx.
Con ésta nomenclatura se define el "tamaño del vector" por así decirlo. Los vectores antes mencionados son vectores del grupo Rn, ya que sus dimensión es enésima, o infinita. Éstos conceptos los debemos tener muy claros ya que de éstos dependen ciertas normas que se explicaran en siguientes posts. Publicado por: José Javier Barbosa Castro.

Tema 4.1.1: ¿Cómo funcionan los espacios vectoriales?

 Los axiomas, son las normas o reglas, para poder trabajar con los espacios vectoriales. a continuación les compartimos éste articulo donde se explica muy a fondo éstos axiomas: Publicado por: José Javier Barbosa Castro
http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-13.pdf

Tema 4.1 Definición de espacio vectorial

La noción de espacio vectorial se utiliza para nombrar a la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma (interna al conjunto) y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.

Básicamente es la relación de dos escalares( distancia, tiempo, altura, etc), dando a lugar a un vector como; velocidad, aceleración, fuerza, etc. Publicado por: José Javier Barbosa Castro

Fuente: http://definicion.de/espacio-vectorial/

Este blog esta dedicado a aquellos que quieran saber un poco mas en la materia de álgebra lineal. Para esto se estará actualizando casi diario la información del mismo, para proporcionar un buen blog donde todos aprendamos. Publicado por José Javier Barbosa Castro